Публикация:
	652. Орлов А.И. Оптимальные методы в экономике и управлении. Учебное пособие по курсу «Организационно-экономическое моделирование». – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 44 с.

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана 
Факультет «Инженерный бизнес и менеджмент»

А.И. Орлов

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
В ЭКОНОМИКЕ И УПРАВЛЕНИИ

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2007

	Орлов А.И. Оптимальные методы в экономике и управлении. Учебное пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 44 с.

	Изложение идет на примерах. Рассмотрены три однопродуктовые модели управления запасами на складе – классическая модель Вильсона, двухуровневая модель, модель планирования размеров поставок. В каждой из них найдена оптимальная политика управления запасами, обеспечивающая минимизацию издержек. Наиболее подробно проанализирована модель Вильсона. В три этапа решена задача нахождения оптимального плана поставок. Показано значение асимптотически оптимального плана, определяемого классической формулой квадратного корня. Устойчивость выводов в математической модели рассмотрена на примере влияния на издержки отклонений от оптимального объема партии. Построена система моделей, обобщающих постановку Вильсона, в частности, модель с дефицитом. Практическое применение классической модели управления запасами продемонстрировано на примере Реутовской химбазы Московской области, поставляющей кальцинированную соду. 
	Для студентов 4-го курса, обучающихся по направлению подготовки «Организация и управление наукоемкими производствами» (специальность «Менеджмент высоких технологий»).

Введение

	Математические модели организационных и экономических явлений и процессов кратко называют организационно-экономическими моделями. Они предназначены для получения наиболее эффективных управленческих решений с помощью методов оптимизации. Оптимальные методы в экономике и управлении рассмотрим на примере управления запасами. Основное внимание уделим классической модели Вильсона, позволяющей наглядно и достаточно просто с математической точки зрения продемонстрировать методологию и основные этапы организационно-экономического моделирования [1]. Эта модель широко и успешно применяется на практике (см., например, [2]).
	Теория управления запасами – часть логистики. Термин «логистика» происходит от французского слова «loger» (размещение, расквартирование), которое употребляется в военной терминологии для определения движения военных грузов, их складирования и размещения, а также для описания процесса размещения и расквартирования военных подразделений. В настоящее время термин «логистика» широко используется в деловом мире и определяет теорию и практику движения сырья, материалов, комплектующих изделий, производственных, трудовых и финансовых ресурсов, готовой продукции от их источников к потребителям.
	ЛОГИСТИКА – наука о планировании, управлении и контроле за движением материальных, информационных и финансовых ресурсов в различных производственно-экономических системах. Предметом логистики является комплексное управление всеми материальными и нематериальными потоками в таких системах. Новизна концепции логистики в области управления промышленными системами состоит во всестороннем подходе к вопросам движения материальных благ в процессе производства и управления. Логистическая система должна охватывать и согласовывать процессы производства, закупок и распределения продукции, а также быть основой при стратегическом планировании и прогнозировании. Итак, логистика – это экономическая дисциплина, занимающаяся оптимальной организацией материальных, финансовых и информационных потоков. 
	Одна из основных частей логистики – теория управления запасами. Сколько товара держать на складе? Много – будут омертвляться оборотные средства, вложенные в запас. Мало – слишком часто надо будет заниматься получением новых партий товара и нести соответствующие расходы. Значит, надо рассчитать и использовать оптимальный размер запаса. А для этого необходимо построить соответствующую математическую модель. 
	Управление запасами (другими словами, материально-техническое снабжение) – неотъемлемая часть работы фирм и организаций. Речь идет о запасах сырья, топлива, материалов, инструментов, комплектующих изделий, полуфабрикатов, готовой продукции на промышленном (или сельскохозяйственном) предприятии, о запасах товаров на оптовых базах, складах магазинов, на рабочих местах продавцов, наконец, у потребителей. Запасы постоянно расходуются и пополняются по тем или иным правилам, принятым на предприятии. Оптимизация этих правил, т.е. оптимальное управление запасами, дает большой экономический эффект. 
	Математическая теория управления запасами является крупной областью экономико-математических исследований, получившей свое развитие, в основном, начиная с пятидесятых годов ХХ века. Предложенная, видимо, еще в 1915 г. Ф.Харрисом классическая модель теории управления запасами, называемая также моделью Вильсона (в связи с тем, что получила известность после публикации работы Р.Г.Вильсона в 1934 г.), является одним из наиболее простых и наглядных примеров применения математического аппарата для принятия решений в экономической области. В то же время формула оптимального размера заказа, полученная в модели Вильсона, широко применяется на различных этапах производства и распределения продукции, поскольку оказывается практически полезной для принятия решений при управлении запасами, в частности, приносящей заметный экономический эффект [3]. Рассмотрим эту модель подробнее.

1. Классическая модель управления запасами

	Пусть y(t) – величина запаса некоторого товара на складе в момент времени t, t>0. Дефицит не допускается, т.е. y(t)>0 при всех t. Товар пользуется равномерным спросом с интенсивностью , т.е. за интервала времени  со склада извлекается и поступает потребителям часть запаса величиной  В моменты времени t0 = 0, t1, t2,… пополняется запас на складе – приходят поставки величиной Q0, Q1, Q2,… соответственно. Таким образом, изменение во времени величины запаса y(t) товара на складе изображается зубчатой ломаной линией (рис.1), состоящей из наклонных и вертикальных звеньев, причем наклонные отрезки параллельны.  

         y
			       Q2
       Q0           Q1				   Q3

         0                t1               t2                       t3                            t
Рис. 1. График изменения величины запаса на складе

	Таким образом, в момент ti величина запаса на складе y(t) скачком увеличивается на Qi. Следовательно, функция y(t) имеет разрывы в точках t1, t2,… Для определенности будем считать, что эта функция непрерывна справа. 
	Пусть s – плата за хранение единицы товара в течение единицы времени. Поскольку можно считать, что величина запаса y(t) не меняется в течение интервала времени (t; t+dt), где dt – дифференциал, т.е. бесконечно малая, то плата за хранение всего запаса в течение этого интервала времени равна sy(t)dt. Следовательно, затраты за хранение в течение интервала времени [0;T), где T – интервал планирования, пропорциональны (с коэффициентом пропорциональности s) площади под графиком уровня запаса на складе y(t) и равны 

	Пусть g – плата за доставку одной партии товара. Примем для простоты, что она не зависит от размера поставки. Позже покажем, что если эта плата равна g+g1Q, где Q – размер поставки, то оптимальный план поставки – тот же, что и при отсутствии линейного члена. Будет проанализирована и более сложная модель, в которой предусмотрена скидка с ростом поставки, приводящая к выражению g+g1Q+ g2Q2 для платы за доставку одной партии товара размером Q.
	Пусть n(T) – количество поставок, пришедших в интервале [0;T). При этом включаем поставку в момент t = 0 и не включаем поставку в момент t = T (если такая поставка происходит). Тогда суммарные издержки на доставку товара равны gn(T). Следовательно, общие издержки (затраты, расходы) за время T равны 

Запись  означает, что общие издержки зависят от значений функции y=y(t) при всех 0<t<T. Символ у обозначает функцию как целое. Другими словами, область определения F(T;y) при фиксированном T – не множество чисел, а множество функций.
	Общие издержки, очевидно, возрастают при росте горизонта планирования Т. Поэтому часто используют средние издержки, приходящиеся на единицу времени. Средние издержки за время Т равны

	Поскольку товар отпускается со склада с постоянной интенсивностью (скоростью), дефицит не допускается, то доходы от работы склада пропорциональны горизонту планирования, средние доходы постоянны. Следовательно, максимизация прибыли эквивалентна минимизации издержек или средних издержек. 
	Если задать моменты прихода поставок и величины партий, то будет полностью определена функция y=y(t) при всех 0<t<T. Верно и обратное – фиксация функции y= y(t), 0<t<T, рассматриваемого вида (рис.1) полностью определяет моменты прихода поставок и величины партий. И то, и другое будем называть планом поставок или планом работы системы управления запасами. Для ее оптимизации необходимо выбрать моменты времени t0 = 0, t1, t2,… пополнения запаса на складе и размеры поставляемых партий товара Q0, Q1, Q2,… так, чтобы минимизировать средние издержки fT(y) при фиксированном Т. Модель производственной ситуации (т.е. работы склада) описывается четырьмя параметрами -  (интенсивность спроса), s (стоимость хранения единицы продукции в течение единицы времени), g (стоимость доставки партии товара), Т (горизонт планирования).

2. Решение задачи оптимизации

	Поставленная задача оптимизации работы склада интересна тем, что неизвестно число 2n(T)-1 параметров, определяющих план поставок. Поэтому ее решение не может быть проведено с помощью стандартных методов теории оптимизации. 
	Решим эту задачу в три этапа. На первом установим, что оптимальный план следует искать среди тех планов, у которых все зубцы доходят до оси абсцисс, т.е. запас равен 0 в момент доставки очередной партии. Цель второго этапа – доказать, что все зубцы должны быть одной и той же высоты. Наконец, на третьем находим оптимальный размер поставки.
	Оптимальный план. Найдем наилучший план поставок. План, для которого запас равен 0 (т.е. y(t) = 0) в моменты доставок очередных партий, назовем напряженным. 
	Утверждение 1. Для любого плана поставок, не являющегося напряженным, можно указать напряженный план, для которого средние издержки меньше.
	Покажем, как можно от произвольного плана перейти к напряженному плану, уменьшив при этом издержки. Пусть с течением времени при приближении к моменту t1 прихода поставки Q1 уровень запаса не стремится к 0, а лишь уменьшается до  (где знак «минус» означает предел слева функции y(t) в точке t1). Тогда рассмотрим новый план поставок с теми же моментами поставок и их величинами, за исключением величин поставок в моменты t = 0 и t = t1. А именно, заменим Q0 на Q01 = Q0 - y(t1-), а Q1 на Q11 = Q0 + y(t1-). Тогда график уровня запаса на складе параллельно сдвинется вниз на интервале (0; t1), достигнув 0 в t1, и не изменится правее точки t1. Следовательно, издержки по доставке партий не изменятся, а издержки по хранению уменьшатся на величину, пропорциональную (с коэффициентом пропорциональности s) площади параллелограмма, образованного прежним и новым положениями графика уровня запаса на интервале (0; t1) (см. рис.2).
	Итак, в результате первого шага перехода получен план, в котором крайний слева зубец достигает оси абсцисс. Следующий шаг проводится аналогично, только момент времени t = 0 заменяется на t = t1. Если есть такая возможность, второе наклонное звено графика уровня запаса на складе параллельно сдвигается вниз, достигая в крайней правой точке t2 оси абсцисс. 

        y
			       Q2
      Q0           Q1				   Q3
      Q01 

	0                t1               t2                       t3                          t
Рис.2. Первый шаг перехода к напряженному плану
 
	Аналогично поступаем со всеми остальными зубцами, двигаясь слева направо. В результате получаем напряженный план. На каждом шагу издержки по хранению либо сокращались, либо оставались прежними (если соответствующее звено графика не опускалось вниз). Следовательно, для полученного в результате описанного преобразования напряженного плана издержки по хранению меньше, чем для исходного плана, либо равны (если исходный план уже являлся напряженным).
	Из утверждения 1 следует, что оптимальный план следует искать только среди напряженных планов. Другими словами, план, не являющийся напряженным, не может быть оптимальным.
	Утверждение 2. Среди напряженных планов с фиксированным числом поставок минимальные издержки имеет тот, в котором все интервалы между поставками равны. 
	При фиксированном числе поставок затраты на доставку партий не меняются. Следовательно, достаточно минимизировать затраты на хранение.
	Для напряженных планов размеры поставок однозначно определяются с помощью интервалов между поставками:

Действительно, очередная поставка величиной Qi-1 совпадает с размером запаса на складе в момент ti-1, расходуется с интенсивностью  единиц товара в одну единицу времени и полностью исчерпывается к моменту ti  прихода следующей поставки.
	Для напряженного плана издержки по хранению равны

где 

Ясно, что , - произвольные неотрицательные числа, в сумме составляющие Т. Следовательно, для минимизации издержек среди напряженных планов с фиксированным числом поставок достаточно решить задачу оптимизации

где n = n(T).
	Полученная задача оптимизации формально никак не связана с логистикой, она является чисто математической. Для ее решения целесообразно ввести новые переменные 

Тогда

Поскольку 

то 

следовательно, с учетом предыдущего равенства имеем

Сумма квадратов всегда неотрицательна. Она достигает минимума, равного 0, когда все переменные равны 0, т.е. при  Тогда 

При этих значениях  выполнены все ограничения оптимизационной задачи. Итак, утверждение 2 доказано. 
	Для плана с равными интервалами между поставками все партии товара имеют одинаковый объем. Для такого плана издержки по хранению равны

Средние издержки (на единицу времени) таковы:

Итак, минимизация средних издержек – это задача дискретной оптимизации. На третьем этапе построения оптимального плана необходимо найти натуральное число n(T) – самое выгодное число поставок.
	Поскольку к моменту Т запас товара должен быть израсходован, то общий объем поставок за время T должен совпадать с общим объемом спроса, следовательно, равняться Т. Справедливо балансовое соотношение (аналог закона Ломоносова-Лавуазье сохранения массы при химических реакциях):

Из балансового соотношения следует, что

Средние издержки (на единицу времени) можно выразить как функцию размера партии Q:
   (1)
Задача состоит в минимизации f1(Q) по Q. При этом возможная величина поставки принимает дискретные значения, 
	Изучим функцию f1(Q), определенную при Q>0. При приближении к 0 она ведет себя как гипербола, при росте аргумента – как линейная функция. Производная имеет вид
   (2)
Производная монотонно возрастает, поэтому рассматриваемая функция имеет единственный минимум в точке, в которой производная равна 0, т.е. при 
   (3)
Получена знаменитая «формула квадратного корня». 
	Учет дискретности множества, по которому проводится оптимизация. В литературе иногда без всяких комментариев рекомендуют использовать напряженный план, в котором размеры всех поставляемых партий равны Q0. К сожалению, получаемый таким путем план почти всегда не является оптимальным, т.е. популярная рекомендация неверна или не вполне корректна. Дело в том, что почти всегда

	Всегда можно указать неотрицательное целое число n такое, что
   (4)
	Утверждение 3. Решением задачи оптимизации

является либо Q1, либо Q2.
	Действительно, из всех 

часть лежит правее Q0, из них наименьшим является Q2, а часть лежит левее Q0, из них наибольшим является Q1. Для построения оптимального плана обратим внимание на то, что производная (2) отрицательна левее Q0 и положительна правее Q0, следовательно, функция средних издержек f1(Q) убывает левее Q0 и возрастает правее Q0. Значит, минимум по 

достигается при Q = Q2, а минимум по

- при Q = Q1  Последнее утверждение эквивалентно заключению утверждения 3. 
	Итак, алгоритм построения оптимального плана таков.
	1. Найти Q0  по формуле квадратного корня (3). 
	2. Найти n из условия (4).
	3. Рассчитать f1(Q) по формуле (1) для Q = Q1 и Q = Q2, где Q1 и Q2 определены в (4). 
	4. Наименьшее из двух чисел f1(Q1) и f1(Q2) является искомым минимумом, а то из чисел Q1 и Q2, на котором достигается минимум – решением задачи оптимизации. Обозначим его Qopt . 
	Оптимальный план поставки – это напряженный план, в котором объемы всех поставок равны Qopt.
	Замечание. Если f1(Q1) = f1(Q2), то решение задачи оптимизации состоит из двух точек Q1 и Q2. В этом частном случае существует два оптимальных плана.
	Пример 1. На складе хранится некоторая продукция, пользующаяся равномерным спросом. За 1 день со склада извлекается 5 т продукции. Плата за хранение 1 т. продукции в день – 50 руб. Плата на доставку одной партии – 980 руб. Горизонт планирования – 10 дней. Найти оптимальный план поставок.
	В рассматриваемом случае =5 (т/день), s=50 (руб./т.день), g=980 (руб./партия), Т = 10 (дней). По формуле (3) рассчитываем 

Множество допустимых значений для Q имеет вид

Следовательно, Q1 = 12,5 и Q2 = 16,67. Первое значение определяет напряженный план с четырьмя одинаковыми зубцами, а второе – с тремя. Поскольку

то 

и

Поскольку f1(Q1) < f1(Q2), то Qopt = Q1 = 12,5. Итак, оптимальным является напряженный план с четырьмя зубцами. 
	Как уже отмечалось, часто рекомендуют применять план поставок с Q=Q0. Каков при этом проигрыш по сравнению с оптимальным планом? 
	Для плана с Q=Q0 интервал между поставками составляет  дня. Следовательно, партии придут в моменты t0 = 0; t1= 2,8; t2 = 5,6; t3 = 8,4. Следующая партия должна была бы придти уже за пределами горизонта планирования Т =10, в момент t4 = 11,2. Таким образом, график уровня запаса на складе в пределах горизонта планирования состоит из трех полных зубцов и одного не полного. К моменту Т =10 пройдет 10 – 8,4 = 1,6 дня с момента последней поставки, значит, со склада будет извлечено  т продукции и останется 14 – 8 = 6 т. План с Q=Q0 не является напряженным, а потому не является оптимальным для горизонта планирования Т =10.
	Подсчитаем общие издержки в плане с Q=Q0. Площадь под графиком уровня запаса на складе равна сумме площадей трех треугольников и трапеции. Площадь треугольника равна  трех треугольников – 58,8. Основания трапеции параллельны оси ординат и равны значениям уровня запаса в моменты времени t3 = 8,4 и Т =10, т.е. величинам 14 и 6 соответственно. Высота трапеции лежит на оси абсцисс и равна 10 – 8,4 = 1,6, а потому площадь трапеции есть  Следовательно, площадь под графиком равна 58,8 + 16 = 74,8, а плата за хранение составляет  руб.
	За 10 дней доставлены 4 партии товара (в моменты t0 = 0; t1= 2,8; t2 = 5,6; t3 = 8,4), следовательно, затраты на доставку равны  руб. Общие издержки за 10 дней составляют 3740+3920 = 7660 руб., а средние издержки – 766 руб. Они больше средних издержек в оптимальном плане в 766/704,5 = 1,087 раза, т.е. на 8,7%. 
	Отметим, что 

т.е. меньше, чем в оптимальном плане. Таким образом, из-за дискретности множества допустимых значений средние издержки возросли на 4,5 руб., т.e. на 0,64%. При этом оптимальный размер партии (12,5 т) отличается от Q0 = 14 т на 1,5 т, т.е. Qopt/ Q0 = 0,89 – различие на 11%. Достаточно большое различие объемов поставок привело к пренебрежимо малому изменению функции f1(Q). Это объясняется тем, что в точке Q0 функция f1(Q) достигает минимума, а потому ее производная в этой точке равна 0. 
	Оба слагаемых в f1(Q0) равны между собой. Случайно ли это? Покажем, что нет. Действительно,

Таким образом, составляющие средних издержек, порожденные различными причинами, уравниваются между собой. 
	 Средние издержки в плане с Q=Q0 равны . Интервал между поставками при этом равен
.
Издержки в течение одного интервала между поставками таковы:
,
при этом половина (т.е. g) приходится на оплату доставки партии, а половина – на хранение товара. 

3. Асимптотически оптимальный план

	Из проведенных рассуждений ясно, что напряженный план с Q=Q0 является оптимальным тогда и только тогда, когда горизонт планирования Т приходится на начало очередного зубца, т.е. для
   (5)
Для всех остальных возможных горизонтов планирования Т этот план не является оптимальным. Оптимальным будет напряженный план с другим размером поставки. Для дальнейшего весьма существенно, что при изменении горизонта планирования Т от 0 до Т0 оптимальный план меняется на всем интервале [0; T0].
	Как происходит это изменение? При малых горизонтах планирования Т делается лишь одна поставка (в момент времени t = 0), график уровня запаса на складе состоит из одного зубца. При увеличении Т размер зубца плавно увеличивается. В некоторый момент Т(1) происходит переход от одного зубца к двум. В этот момент оптимальны сразу два плана поставки – с одним зубцом и с двумя. При переходе к планам с двумя зубцами размер зубца скачком уменьшается. При дальнейшем увеличении горизонта планирования оптимальный план описывается графиком с двумя одинаковыми зубцами, размер которых плавно растет. Далее в момент Т(2) становится оптимальным план с тремя зубцами, размер которых в этот момент скачком уменьшается (в компенсацию за увеличение числа скачков). И т.д.
	Проблема состоит в том, что в реальной экономической ситуации выбор горизонта планирования Т весьма субъективен. Возникает вопрос, какой план разумно использовать, если горизонт планирования не известен заранее. Проблема горизонта планирования возникает не только в логистике. Она является общей для любого перспективного планирования, поэтому весьма важна для стратегического менеджмента (см. главу 4 части I учебника [4]). Для решения проблемы горизонта планирования необходимо использование конкретной модели принятия решений, в рассматриваемом случае – классической модели управления запасами.
	Ответ можно указать, если горизонт планирования является достаточно большим. Оказывается можно использовать план, в котором все размеры поставок равны Q0. Для него уровень запаса на складе описывается функцией y0(t), , состоящей из зубцов высоты Q0. Предлагается пользоваться планом, являющимся сужением этого плана на интервал [0; T). Другими словами, предлагается на интервале [0; T) использовать начальный отрезок этого плана. Он состоит из некоторого количества треугольных зубцов, а последний участок графика, описываемый трапецией, соответствует тому, что последняя поставка для почти всех горизонтов планирования не будет израсходована до конца. Такой план иногда называют планом Вильсона [3].
	Ясно, что этот план не будет оптимальным (для всех Т, кроме заданных формулой (5)). Действительно, план Вильсона можно улучшить, уменьшив объем последней поставки. Однако у него есть то полезное качество, что при изменении горизонта планирования его начальный отрезок не меняется. Действительно, планы поставок для горизонтов планирования Т1 и Т2 планы, определенные с помощью функции y0(t), , задающей уровень запасов на складе, совпадают на интервале [0; min {Т1, Т2}).
	Определение. Асимптотически оптимальным планом называется план поставок – функция  такая, что

где yopt(T) – оптимальный план на интервале [0; T).
	В соответствии с определениями и обозначениями, введенными в начале раздела,  - средние издержки за время Т для плана yopt(T), определенного на интервале [0; T), а f(T;y) - средние издержки за время Т для плана .
	Теорема 1. План y = y0 является асимптотически оптимальным.
	Таким образом, для достаточно больших горизонтов планирования Т планы y0(t), 0<t<T, все зубцы у которых имеют высоту Q0, имеют издержки, приближающиеся к минимальным. Следовательно, эти планы Вильсона, являющиеся сужениями одной и той же функции на интервалы [0; T) при различных Т, можно использовать одновременно при всех достаточно больших Т. 
	Замечание. Согласно [3] решение проблемы горизонта планирования состоит в использовании асимптотически оптимальных планов, которые близки (по издержкам) к оптимальным планам сразу при всех достаточно больших Т (см. обсуждение в указанной выше главе [4]).
	Доказательство. По определению оптимального плана
   (6)
Найдем нижнюю границу для рассматриваемого отношения. При фиксированном Т можно указать неотрицательное целое число n такое, что 

Так как Tf(T; yopt(T)) и - общие издержки на интервалах (0; Т) и (0; nQ0/µ) соответственно при использовании оптимального на (0; Т) плана, то, очевидно, поскольку второй интервала – часть первого (или совпадает с ним), первые издержки больше вторых, т.е. 
Tf(T; yopt(T)) > .
	Далее, т.к. на интервале (0; nQ0/µ), включающем целое число периодов плана у0, оптимальным является начальный отрезок этого плана у0(nQ0/µ), то 
 > 
	В правой части последнего неравенства стоит  (здесь использована формула для минимального значения средних издержек f(T; y) при Т, кратном nQ0/µ). Из проведенных рассуждений вытекает, что
Tf(T; yopt(T)) > .   (7)
	Для общих издержек на интервалах (0; Т) и (0; (n + 1)Q0/µ) при использовании плана у0, очевидно, справедливо следующее неравенство
Tf(T; y0(T)) < 
Следовательно,
Tf(T; y0 (T)) <    (8)
	Из неравенств (7) и (8) вытекает, что  

	Так как  при Т → ∞, то, учитывая неравенство (6), из последнего неравенства выводим справедливость заключения теоремы 1. Таким образом, асимптотическая оптимальность плана у0  доказана.
	При небольшом Т средние издержки в плане Вильсона могут существенно превышать средние издержки в оптимальном плане. Превышение вызвано скачками функции f(T; y0(T)), связанными с переходами через моменты прихода очередных поставок (и увеличением общих издержек скачком на величину платы за доставку партии). Величину превышения средних издержек в плане Вильсона по сравнению с оптимальными планами можно рассчитать.  
	Пусть горизонт планирования T = tk + ε, где tk – момент прихода (k+1)-й поставки в плане Вильсона, ε > 0. Тогда, как можно доказать, 

	Таким образом, затраты в плане Вильсона являются минимальными (относительно оптимального плана) при T = tk, k = 1, 2, … , где tk – моменты прихода поставок. Напомним, что план Вильсона является оптимальным при указанных Т. Однако при Т, бесконечно близком к tk, но превосходящем tk, затраты увеличиваются по сравнению с затратами в оптимальном плане в {1+1/(2k)} раз. При дальнейшем возрастании Т отношение издержек (средних или общих) в плане Вильсона к аналогичным издержкам в оптимальном плане постепенно уменьшается, приближаясь к 1 при приближении (снизу) к моменту tk+1 прихода следующей поставки. А там – новый скачок, но уже на меньшую величину {1+1/(2k+2)}. И т.д.
	Сразу после прихода первой поставки отношение затрат составляет 1,5 (превышение на 50%), после прихода второй – 1,25 (превышение на 25%), третьей – 1,167 (превышение на 16,7%), четвертой – 1,125 (превышение на 12,5%), пятой – 1,1 (превышение на 10%), и т.д. Таким образом, при небольших горизонтах планирования Т превышение затрат может быть значительным, план Вильсона отнюдь не оптимальный. Но чем больше горизонт планирования, тем отклонение меньше. Уже после сотой поставки оно не превышает 0,5%. 

4. Влияние отклонений от оптимального объема партии

	В реальных производственных и управленческих ситуациях часто приходится принимать решения об использовании объемов партии, отличных от оптимальной величины Q0, рассчитанной по формуле квадратного корня (3). Например, при ограниченной емкости склада или для обеспечения полной загрузки транспортных средств большой вместимости. Это возможно также в ситуации, когда величина партии измеряется в целых числах (штучный товар) или даже в десятках, дюжинах, упаковках, ящиках, контейнерах  и т.д., а величина Q0 не удовлетворяет этому требованию и, следовательно, не может быть непосредственно использована в качестве объема поставки.   
	Поэтому необходимо уметь вычислять возрастание средних издержек при использовании напряженного плана с одинаковыми поставками объема Q, отличного от Q0, по сравнению со средними издержками в оптимальном плане. Будем сравнивать средние издержки за целое число периодов. Как показано выше, они имеют вид
,
где Q- объем партии. Тогда
   (9)
Это тождество нетрудно проверить с помощью простых алгебраических преобразований.
	Пример 2. Пусть используется план с Q = 0,9 Q0. Тогда

Таким образом, изменение объема партии на 10% привело к увеличению средних издержек лишь на 0,56%.
	Пример 3. Пусть используемое значение объема поставки Q отличается от оптимального не более чем на 30%. На сколько могут возрасти издержки?
	Из формулы (9) вытекает, что максимальное возрастание издержек будет в случае Q = 0,7 Q0. Тогда

Таким образом, издержки могут возрасти самое большее на 6,43%.
	На первый взгляд представляется удивительным, что сравнительно большое отклонение значения переменной Q от оптимального (на 10%) приводит к пренебрежимо малому возрастанию значения оптимизируемой функции. Этот факт имеет большое прикладное значение. Из него следует, что область «почти оптимальных» значений параметра весьма обширна, следовательно, из нее можно выбирать для практического использования те или иные значения, исходя из иных принципов. Можно, например, минимизировать какую-либо иную целевую функцию, тем самым, решая задачу многокритериальной оптимизации. Можно «вписаться» в действующую дискретную систему возможных значений параметров. И т.д.
	Важное замечание 1. Обширность области «почти оптимальных» значений параметра – общее свойство оптимальных решений, получаемых путем минимизации гладких функций. Действительно, пусть необходимо минимизировать некоторую функцию g(x), трижды дифференцируемую. Пусть минимум достигается в точке х0. Справедливо разложение Тейлора-Маклорена 

Однако в х0 выполнено необходимое условие экстремума (в данном случае – минимума)

Следовательно, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка (по сравнению с (х-х0)2) справедливо равенство
   (10)
Это соотношение показывает, что приращение значений минимизируемой функции – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с приращением независимой переменной. Если 
х = х0 + ε, 
то 
g(x) - g(x0) = Сε2, 
где

	Вернемся к классической модели управления запасами. Для нее надо рассматривать f1(Q) в роли g(x). С помощью соотношения (10) заключаем, что

с точностью до бесконечно малых более высокого порядка. Вычислим вторую производную f1(Q). Поскольку

то 

Теперь заметим, что 

Следовательно, 

с точностью до бесконечно малых более высокого порядка. Отличие этой формулы от точной формулы (9) состоит только в том, что Q в знаменателе одной из дробей заменено на Q0. 
	Устойчивость выводов в математической модели. Вполне ясно, что рассматриваемая классическая модель управления запасами, как и любые иные экономико-математические модели конкретных экономических явлений и процессов, является лишь приближением к реальности. Приближение может быть более точным или менее точным, но никогда не может полностью уловить все черты реальности. Поэтому с целью повышения адекватности получаемых на основе экономико-математической модели выводов целесообразно изучить устойчивость этих выводов по отношению к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели [3, 5]. Выше изучено изменение средних издержек при малых отклонениях величины поставки. 
	Предположим теперь, что вместо истинных значений параметров µ, g, s нам известны лишь их приближенные значения µ* = µ + Δµ, g* = g + Δg, s* = s + Δs. Мы применяем план Вильсона, но с искаженным объемом партии

Это приводит к возрастанию средних издержек. Согласно формулам (9) – (10) возрастание пропорционально (ΔQ)2 (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка). Здесь 

Выделим в ΔQ главный линейный член:
   (11)
(с точностью до бесконечно малых более высокого порядка).
	Величину Δµ можно определить по фактическим данным о спросе, оценив величину отклонения реального спроса от линейного приближения [3], например, с помощью математического аппарата линейного регрессионного анализа [5]. Для определения значений параметров g и s необходимо проведение специальных трудоемких исследований. К тому же существуют различные методики расчета этих параметров, результаты расчетов по которым не совпадают. Поэтому естественно оценить разумную точность определения g и s по известной точности определения µ. Для этого воспользуемся «принципом уравнивания погрешностей», предложенным в [3].
	Важное замечание 2. Принцип уравнивания погрешностей состоит в том, что погрешности различной природы должны вносит примерно одинаковый вклад в общую погрешность математической модели. Так, определение рационального объема выборки в статистике интервальных данных основано на уравнивании влияния метрологической и статистической погрешностей. Согласно подходу [3] выбор числа градаций в социологических анкетах целесообразно проводить на основе уравнивания погрешностей квантования и неопределенности в ответах респондентов. В классической модели управления запасами целесообразно уравнять влияние неточностей в определении параметров на отклонение целевой функции от оптимума. 
	Выберем Δg и Δs так, чтобы увеличение затрат, вызванное неточностью определения g и s, было таким же, как и вызванное неточностью определения µ. С точностью до бесконечно малых более высокого порядка это означает, что необходимо уравнять между собой три слагаемых в правой части (11). После сокращения общего множителя получаем, что согласно принципу уравнивания погрешностей должно быть справедливо соотношение
    (12)
Таким образом, относительные погрешности определения параметров модели должны совпадать.
	В соотношении (12) используются истинные значения параметров, которые неизвестны. Поэтому целесообразно вначале вместо параметров использовать их грубые оценки, из (12) определить их примерную точность, затем провести исследования, уточняющие значения параметров. Эту процедуру естественно повторять до тех пор, пока не произойдет некоторое уравнивание относительных погрешностей определения параметров модели.

5. Модель с дефицитом

	Классическая модель управления запасами может быть обобщена в различных направлениях. Одно из наиболее естественных обобщений – введение в модель возможности дефицита.
	В рассматриваемой до сих пор модели предполагалось, что дефицит не допускается, т.е. некоторое количество товара на складе всегда есть. Но, может быть, выгоднее сэкономить на расходах по хранению запаса, допустив небольшой дефицит – потребность в товаре в некоторые интервалы времени может остаться неудовлетворенной?
	Как подсчитать убытки от дефицита, в частности, от потери доверия потребителя? Будем считать, что если нет товара, владеющая складом организация платит штраф – каждый день пропорционально нехватке. По приходе очередной поставки все накопленные требования сразу же удовлетворяются.
	Сохраним все предположения и обозначения рассматриваемой до сих пор модели, кроме отсутствия дефицита. Неудовлетворенный спрос будем рассматривать как отрицательный запас. График изменения величины запаса на складе изображен на рис.3.

         y
			       Q2
       Q0           Q1				   Q3

         0                  t1             t2                         t3                            t

Рис.3. График изменения величины запаса на складе 
при возможности дефицита.

	Очевидно, рис.1 и рис.3 отличаются только тем, что на последнем рисунке зубцы графика могут опускаться ниже оси абсцисс, что соответствует сдвигу графика рис.1 как единого целого вниз вдоль оси ординат.
	Пусть h – плата за нехватку единицы товара в единицу времени (например, в день). Тогда средние издержки за время Т определяются формулой

где χ(А) – индикатор множества А, т.е. χ(y(t)>0) = 1 при y(t)>0 и χ(y(t)>0)=0 при y(t)<0, в то время как χ(y(t)<0) = 1 при y(t)<0 и χ(y(t)<0) = 0 при y(t)>0. Таким образом, площадь под частью графика уровня запаса, лежащей выше оси абсцисс, берется с множителем s, а площадь между осью абсцисс и частью графика y(t), соответствующей отрицательным значениям запаса, берется с заметно большим по величине множителем h.
	Для модели с дефицитом оптимальный план находится почти по той же схеме, что и для модели без дефицита. Сначала фиксируем моменты поставок и находим при этом условии оптимальные размеры поставок. Фактически речь идет о выборе уровня запаса Y в момент прихода очередной поставки (рис.4). 

                             Y 

Рис.4. Первый шаг построения оптимального плана 
в модели с дефицитом.

	Увеличивая или уменьшая Y, можно увеличивать или уменьшать площадь треугольника над осью абсцисс (учитываемую с коэффициентом s) и соответственно уменьшать или увеличивать площадь треугольника под осью абсцисс (учитываемую с коэффициентом h), добиваясь минимизации взвешенной суммы этих площадей. Все элементы прямоугольных треугольников на рис.4 выражаются через Y, заданный интервал времени между поставками и параметры модели. Минимизация соответствующего квадратного трехчлена дает оптимальное значение

При этом минимальная сумма затрат на хранение и издержек, вызванных дефицитом, равна

	Второй шаг нахождения оптимального плана в модели с дефицитом полностью совпадает с аналогичным рассуждением в исходной модели. Фиксируется число поставок, и с помощью варьирования размеров интервалов между поставками минимизируется целевой функционал. Поскольку сумма квадратов некоторого числа переменных при заданной их сумме достигает минимума, когда все эти переменные равны между собой, то оптимальным планом является план, у которого все зубцы одинаковы, т.е. уровень запаса в момент прихода очередной поставки – всегда один и тот же. При этом все объемы поставок, за исключением объема начальной поставки (в нулевой момент времени), равны между собой:
   (13)
	На третьем этапе среди указанного однопараметрического дискретного множества планов находим оптимальный план. Как и для модели без дефицита, в качестве ориентира используется план с размером поставки, определяемой по формуле квадратного корня,

Для горизонтов планирования Т, кратных /µ, оптимальным является план типа (13) с Q = . Для всех остальных горизонтов планирования, как и в случае модели без дефицита, необходимо найти неотрицательное целое число n такое, что
,
а затем, сравнив издержки для Q = Q1 и Q = Q2, объявить оптимальным то из этих двух значений, для которого издержки меньше. 
	Отметим, что модель без дефицита является предельным случаем для модели с дефицитом при безграничном возрастании платы за дефицит. В частности,

	Как и в случае модели без дефицита, план с объемом поставки, определяемой по формуле квадратного корня, Q = , является асимптотически оптимальным.

6. Система моделей на основе модели Вильсона

	Классическая модель теории управления запасами, называемая также моделью Вильсона, допускает различные обобщения. 
	Одно из таких обобщений – модель с конечной скоростью поставки υ, т.е. модель, в которой за время Δt поставляется продукция объемом υΔt (при наличии в то же время постоянного спроса с интенсивностью µ, причем считается, что υ>µ). Таким образом, в этой модели поставка происходит не мгновенно, а в течение некоторого интервала времени, причем объем поставляемой продукции линейно зависит от времени. Такие поставки будем называть линейными с интенсивностью υ.
	Другое обобщение классической модели связано с обобщением функции от объема запаса, задающей плату за хранение. В исходной модели считалось, что расходы за хранение пропорциональны объему продукции на складе. Естественно считать, что эти расходы должны содержать постоянный член а, не зависящий от объема продукции на складе (расходы на содержание самого склада, оплату работников и т.д.). Однако оптимальный план при таком обобщении не изменится. Действительно, в формуле для издержек добавится постоянный член а, и положение минимума не изменится при его добавлении. 
	Однако в модели с дефицитом ситуация иная. Затраты на хранение возникают только при наличии товара на складе, и издержки этого вида вполне естественно разделить на постоянные и переменные (пропорциональные объему запаса на складе).
	Аналогично издержки, вызванные дефицитом, вполне естественно разделить на постоянные (вызванные самим фактом дефицита) и переменные (пропорциональные величине дефицита).
	В классической модели плата за доставку партии не зависит от объема партии. Т.е. здесь используются только постоянные издержки. Представляется вполне естественным ввести линейный член, соответствующий возрастанию платы за доставку в зависимости от величины партии (переменные издержки). (Ниже будет показано, что добавление этого члена не влияет на решение задачи оптимизации и вид оптимального плана.) Дальнейшее обобщение – введение скидок в зависимости от величины партии. Это приводит к выражению платы за доставку в виде квадратного трехчлена от объема партии.
	Можно рассматривать одновременно несколько обобщений. В результате получаем систему моделей на основе классической модели управления запасами, состоящую из 36 моделей [6]. Каждая из них может быть описана набором четырех чисел (а(1), а(2), а(3), а(4)). Каждое из этих чисел соответствует одному из рассмотренных выше видов обобщений исходной модели.
	При этом а(1) = 0, если поставки мгновенные, и а(1) = 1, если поставки  являются линейными с интенсивностью υ, причем υ>µ.
	Если плата за хранение продукции объемом у в течение единицы времени равна sy, то а(2) = 0. Если же учтены постоянные (при наличии товара на складе) издержки, т.е. указанная плата равна sy+a, a>0, то а(2) =1.
	Если плата за нехватку продукции объемом у в течение единицы времени бесконечна (т.е. дефицит не допускается), то а(3) = 0. Если эта плата равна hy (рассмотренная выше модель с дефицитом), то а(3)=1. Если же вводятся также постоянные издержки (плата за само наличие дефицита), т.е. плата за нехватку продукции объемом у в течение единицы времени равна hy + b, b > 0, то а(3) = 2.
	Наконец, а(4) = 0, если плата за доставку партии продукции объемом Q равна g. Если учитываются переменные издержки, т.е. эта плата равна g + g1Q, то а(4) = 1. Если же в модели учитываются скидки на объем партии, т.е. если плата за доставку партии продукции объемом Q равна g + g1Q + g2Q2, то а(4) = 2. 
	Для а(1) имеется два возможных значения, для а(2) – тоже два, для а(3) – три возможных значения, для а(4) – тоже три. Всего имеется 2 × 2 × 3 × 3 = 36 возможных комбинаций, т.е. 36 возможных моделей. Классическая модель управления запасами описывается набором (0, 0, 0, 0), а модель с дефицитом – набором (0, 0, 1, 0). 
	Рассмотрим наиболее обобщенную модель рассматриваемой системы. Она описывается набором (1, 1, 2, 2). Можно показать, что для нее справедливы основные утверждения, касающиеся классической модели и модели с дефицитом. Однако «формула квадратного корня» имеет более сложный вид, а именно,
.
В частности, план с Q =  является асимптотически оптимальным.
	Формула для Q позволяет обнаружить ряд любопытных эффектов. Так, в ней не участвует параметр g1. Другими словами, при любом изменении этого параметра оптимальный объем поставки не меняется. Если запас пополняется весьма быстро по сравнению со спросом, т.е. υ>>µ, то соответствующий множитель в «формуле квадратного корня» исчезает, и для моделей с а(1) = 0 получаем более простую формулу 

Дальнейшее упрощение получаем при a = b. Это равенство означает, что постоянные (в другой терминологии – фиксированные) платежи за хранение и в связи с дефицитом совпадают, например, равны 0. Если последнее утверждение справедливо, то

	Предположим теперь, что при доставке партии отсутствуют скидки (или надбавки) за размер партии. Тогда «формула квадратного корня» упрощается дальше и приобретает вид

Эта формула уже была получена выше при рассмотрении модели с дефицитом. При безграничном возрастании h получаем формулу Вильсона для классической модели управления запасами:

Новое в последних двух формулах – наличие в левой части параметра g1, не участвующего в формировании объема партии. 
	Важное замечание 3. Модели конкретных экономических (и не только) процессов и явлений обычно не встречаются и не изучаются поодиночке. Обычно имеется совокупность моделей, объединенных в систему, переходящих друг в друга при тех или иных предельных переходах. Часто более простые модели используются для расчетов, более сложные применяются для изучения точности, достигаемой с помощью более простых, согласно подходу, развитому в [5].

7. О практическом применении классической модели управления запасами

	Для отработки методики практического использования классической модели управления запасами был проведен эксперимент на снабженческо-сбытовой базе, а именно, на Реутовской химбазе Московской области. Собраны и обработаны данные по одному из товаров, распространяемых этой организацией в большом объеме, - по кальцинированной соде. В качестве исходной информации о спросе использовались данные об ежедневном отпуске кальцинированной соды потребителям, зафиксированные на карточках складского учета. Рассчитана величина затрат на хранение как соответствующая доля общей суммы издержек по содержанию базы, а также расходы на доставку новых партий. Для определения расходов на хранение запасов использованы данные о заработной плате складского персонала (включая основную и дополнительную заработная плата, начисления на зарплату), расходах на содержание охраны, эксплуатацию складских зданий и сооружений, расходах по текущему ремонту, по таре, на приемку, хранение, упаковку и реализацию товаров, о величине амортизационных отчислений и др. Для расчета расходов на доставку новых партий товара использованы данные о расходах по завозу, о плате за пользование вагонами и контейнерами сверх установленных норм, расходах на содержание и эксплуатацию подъемно-транспортных механизмов, о заработной плате работников, занятых в процессе доставки товара, канцелярских, почтовых и телеграфных расходах и др. 
	Полезным оказалось вытекающее из «принципа уравнивания погрешностей» соотношение (12). Интенсивность спроса µ и погрешность определения этого параметра найдены методом наименьших квадратов. Это дало возможность установить величину относительной точности определения параметров модели, вытекающих из величин погрешностей исходных данных для спроса. Параметры классической модели управления запасами g и s оценивались двумя способами – по методике Всесоюзного института материально-технического снабжения и по методике Центрального экономико-математического института АН СССР. Для каждой из методик с помощью соотношения (12) были определены абсолютные погрешности определения параметров g и s. Оказалось, что для каждой из методик интервалы (s – Δs, s + Δs) и (g – Δg, g + Δg) таковы, что числа, рассчитанные по альтернативной методике, попадают внутрь этих интервалов. Это означает, что для определения параметров g и s можно пользоваться любой из указанных методик (в пределах точности расчетов, заданной наблюдаемыми колебаниями спроса).
	Вызванное отклонениями параметров модели в допустимых пределах максимальное относительное увеличение суммарных затрат на доставку и хранение продукции не превосходило 26% (колебания по кварталам от 22,5% до 25,95%). Фактические издержки почти в 3 раза превышали оптимальные (в зависимости от квартала фактические издержки составляли от 260% до 349% от оптимального уровня). Следовательно, внедрение модели Вильсона в практику управления запасами на Реутовской химбазе дает возможность снизить издержки, связанные с доставкой и хранением кальцинированной соды не менее чем в 2 раза [7]. 
	Таким образом, несмотря на то, что параметры модели определены неточно и отклонения значений параметров (от тех значений, по которым рассчитывается оптимальный план поставок) приводят к некоторому увеличению затрат по сравнению с затратами в оптимальном плане, использование рассматриваемой модели для реального управления запасами конкретной продукции может дать значительный экономический эффект. Аналогичным является положение со многими другими моделями управления запасами. Это утверждение подтверждает и зарубежный опыт, проанализированный в монографии [3].

8. Двухуровневая модель управления запасами

	Создание любой автоматизированной системы управления материально-техническим снабжением (в другой терминологии – процессами логистики), базирующейся на комплексе экономико-математических моделей, должно включать в себя разработку (в качестве блоков) моделей деятельности отдельных баз (складов). Поэтому большое внимание уделяется проблеме построения оптимальной политики управления запасами на базе (складе). Экономико-математическую теорию удается развивать в основном для однопродуктовых моделей.
	Двухуровневая модель управления запасами – это однопродуктовая модель работы склада, в которой заявки потребителей удовлетворяются мгновенно. При отсутствии продукта заявки учитываются. Как только запас на складе опускается до уровня R < 0, мгновенно поступает партия товара величиной Q и запас на складе оказывается равным R+Q>0. Как и в рассмотренном выше варианте классической модели Вильсона с дефицитом, издержки складываются из издержек по хранению, издержек от дефицита и издержек по доставке. Средние издержки за время Т имеют вид

где y(t) – уровень запаса на складе, χ(А) – индикатор множества А, т.е. χ(y(t)>0) = 1 при y(t)>0 и χ(y(t)>0)=0 при y(t)<0, в то время как χ(y(t)<0) = 1 при y(t)<0 и χ(y(t)<0) = 0 при y(t)>0, параметры модели s, h, g имеют тот же смысл, что и выше. Оптимизация состоит в определении значений нижнего уровня R и верхнего уровня R+Q, минимизирующих средние издержки.
	В 1950-х годах американский исследователь К.Эрроу (в будущем – нобелевский лауреат по экономике) с сотрудниками показал, что в ряде случаев оптимальная политика управления запасами – это политика, основанная на двухуровневой модели [3]. Этот принципиально важный теоретический результат стимулировал развитие исследований свойств двухуровневой модели. Однако окончательная теория была построена только в конце 1970-х годов [3]. 
	Важными являются характеристики потока заявок. Пусть τ(Т) – число заявок за время Т. Эта величина предполагается случайной. С прикладной точки зрения вполне естественно предположить, что математическое ожидание Мτ(Т) конечно. Накопленный спрос за время Т имеет вид
,
где Xj – величина j-ой заявки. Предполагается, что X1, X2, … , Xn, … - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием MX1. Таким образом, накопленный спрос за время Т является суммой случайного числа случайных слагаемых. Накопленный спрос определяет уровень запаса на складе, поэтому математический аппарат изучения двухуровневой модели – это предельная теория сумм случайного числа случайных слагаемых.
	При некоторых условиях регулярности (выполняющихся для реальных систем управления запасами) в [3] найдены оптимальные (для горизонта планирования Т) значения нижнего и верхнего уровней: 
,
.
	Часто можно принять, что число поступающих заявок обладает некоторой равномерностью. Например, вполне естественно принять, что 

при некотором λ. Здесь λ – параметр, описывающий предельную интенсивность спроса. Тогда асимптотически оптимальные уровни имеют вид:
,
.
Отметим, что асимптотическое распределение уровня запаса на складе – равномерное на отрезке [R, R+Q].

9. Модель планирования размеров поставок на базу (склад)

	В двухуровневой модели накопленный спрос в любой момент времени является случайной величиной. Это не всегда соответствует экономической реальности. Достаточно часто в соответствии с заключенными договорами размеры поставок на базу и объемы запрашиваемой потребителями продукции определены до начала года (с разбивкой по кварталам или по месяцам) и затем не меняются. Однако поставщик имеет право отгружать продукцию, а потребители – забирать ее в течение всего квартала (или месяца).
	Опишем соответствующую однопродуктовую модель [8]. Пусть интервал планирования разбит на m периодов, не обязательно одинаковых по продолжительности. В течение каждого периода приходит на базу одна поставка. В i-й период ее величина равна Hi, а момент поступления – случайная величина τ(i) с функцией распределения G(i,t), 0<t<1, где t – отношение времени, прошедшего с начала i-го периода, к продолжительности его, i = 1, 2, …, m. 
	В i-й период имеется n(i) потребителей, получающих с базы строго определенное количество продукта, c(1,i), c(2,i), …, c(n(i),i) соответственно. Моменты поступления требований от потребителей – случайные величины δ(i,j), j = 1, 2, …, n(i), i = 1, 2, …, m, с функциями распределения F(i,j,t), 0<t<1, где t – отношение времени, прошедшего после  начала соответствующего периода, к продолжительности этого периода. Если в момент прихода требования на базе имеется достаточное количество продукта, то он отпускается мгновенно. Если продукта нет, то потребителю придется ждать очередной поставки. Если продукта недостаточно, то весь оставшийся товар отпускается сейчас же, а оставшуюся часть приходится ждать. 
	В течение i-го периода, i = 1, 2, …, m, все моменты поступления товара и требований τ(i), δ(i,j), j = 1, 2, …, n(i), предполагаются независимыми в совокупности. Потери, как обычно, складываются из издержек по хранению и от дефицита (расходы на доставку партий заданы заранее, т.е. постоянны, а потому их можно не включать в минимизируемый функционал). Издержки по хранению предполагаются пропорциональными времени хранения и величине запаса с коэффициентами пропорциональности s(i), i = 1, 2, …, m. Издержки от дефицита складываются из потерь у каждого из потребителей; они пропорциональны величине и длительности дефицита с коэффициентами пропорциональности h(i,j), j = 1, 2, …, n(i), i = 1, 2, …, m. 
	Пусть х(0) – начальный запас, х(i) – количество продукта на базе в конце i-го периода, i = 1, 2, …, m.  Пусть S(i) = {s(i), c(j,i), h(i,j), G(i,t), F(i,j,t), 0<t<1, j = 1, 2, …, n(i)} – исходные данные модели в i-й период. Как легко видеть, математическое ожидание издержек за i-й период зависит только от х(i-1), х(i) и S(i). Для краткости обозначим его через f(х(i-1), х(i), S(i)). Тогда математическое ожидание издержек за m периодов равно
Z(m) = f(х(0), х(1), S(1)) + f(х(1), х(2), S(2)) +…
+ f(х(i-1), х(i), S(i)) +    + f(х(m-1), х(m), S(m)).
Необходимо минимизировать Z(m) = Z(х(0), х(1), …, х(i), …, х(m)) по совокупности переменных. Таким образом, необходимо найти оптимальные значения уровней запаса на складе в начале и в конце периодов. Это эквивалентно определению оптимальных размеров поставок по периодам и начального запаса. Ограничения рассматриваемой оптимизационной задачи выписаны в [3, 8]. 
	Вначале была сделана попытка рассматривать задачу минимизации Z(m) как задачу динамического программирования и решать ее типовыми методами. Однако вычислительных мощностей оказалось недостаточно для выполнения расчетов. Тогда нам удалось показать, что функция (m+1)-го переменного Z(m) в действительности является суммой (m + 1) функции одного переменного. 
	Действительно,
f(х(i-1), х(i), S(i)) = f1(х(i-1), х(i), S(i)) + f2(х(i-1), х(i), S(i)),
где f1(х(i-1), х(i), S(i)) – математическое ожидание затрат, произведенных до прихода очередной поставки, f2(х(i-1), х(i), S(i)) – математическое ожидание затрат после поступления поставки. 
	Ясно, что f1(х(i-1), х(i), S(i)) определяется запасом на начало периода и спросом до прихода поставки, но не зависит от запаса на конец периода, т.е. от х(i). Таким образом, можно записать, что 
f1(х(i-1), х(i), S(i)) ≡ f1(х(i-1), S(i)).
	Пусть Hi – объем поставки на склад в i-й период. Сразу же после прихода поставки запас у на складе равен
y(τ(i)) = x(i-1) + Hi – ξ(τ(i)) = x(i) +  – ξ(τ(i)),
где ξ(τ(i)) – накопленный с начала периода спрос. Поскольку ξ(τ(i)) не зависит от x(i-1), то и f2(х(i-1), х(i), S(i)) не зависит от x(i-1). Итак, 
f2(х(i-1), х(i), S(i)) ≡ f2(х(i), S(i)).
	Следовательно, минимизируемая функция имеет вид

При этом ограничения наложены на каждую переменную x(i) по отдельности [3, 8]. Ясно, что задача минимизации Z(m) распадается на m+1 задачу минимизации функций одной переменной:
f1(х(0), S(1)) → min,
f2(х(i), S(i)) + f1(х(i), S(i+1)) → min, (14)
i = 1, 2, ..., m - 1,  
f2(х(m), S(m)) → min
(ограничения не указаны). Следовательно, x(k) зависит только от исходных данных смежных периодов S(k) и S(k+1) и остается неизменным при любом изменении S(i), i ≠ k, i ≠ k+1. Из указанного разложения задачи многомерной оптимизации на ряд задач одномерной оптимизации вытекает также, что при планировании на m(1) и m(2) периодов совпадают оптимальные значения начального запаса и поставок за первые min{m(1), m(2)} -1 периодов. В частном случае стационарного режима S(i)= S, i= 1, 2, …, m, оптимальный план имеет вид {a, b, b, …, b, …, b, c}, где a – решение первой из указанных в (14) задач, b – решение второй задачи и c – третьей. 
	Переход к задачам (14) не только позволяет решить исходную задачу минимизации (напомним, что для минимизации задачи в исходной форме не хватало вычислительных мощностей), но также получить весьма важный для экономической интерпретации вывод о независимости оптимальных значений поставок и начального запаса от горизонта планирования m. 
	Важное замечание 4. Рассмотренная модель дает хороший пример пользы математического анализа оптимизационной задачи принятия решений. Такой анализ позволяет решать задачу не стандартными методами, требующими больших вычислительных ресурсов, а с помощью специально разработанных алгоритмов, учитывающих специфику задачи и позволяющих на много порядков сократить вычисления. Плата за экономию вычислительных ресурсов – необходимость квалифицированного труда специалистов по организационно-экономическим методам и прикладной математике.
	В настоящее время логистика – одна из экономических дисциплин, весьма развитая как в теоретическом, так и в практическом отношении. В ней рассматривается масса конкретных моделей управления запасами. Из перспективных направлений назовем использование случайных множеств в моделях логистики [3, гл.5]. Моделирование с целью нахождение оптимальных решений выше было продемонстрировано на примерах системы моделей, исходящих из классической модели Вильсона, двухуровневой модели, модели оптимизации объемов поставок на базу (склад). 

Литература

1. Орлов А.И. Про управление запасами. – В сб.: Подготовка студентов педагогических институтов к внеурочной работе по математике. - Вологда: ВГПИ, 1975. С.10-20.
2. Смольников Р.В. Практическое применение моделей управления запасами // Контроллинг. 2007. №2 (22). С.52-60.
3. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М., Наука, 1979. – 296 с.
4. Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебник. – М.: Экзамен, 2006. -573 с.
5. Орлов А.И. Эконометрика. Изд. 3-е, переработанное и дополненное. - М.: Экзамен, 2004. - 576 с.
6. Орлов А.И., Конюхова Т.А. Математические модели в экономике. Модель Вильсона управления запасами. - М.: МГИЭМ (ту), 1994. – 31 с. 
7. Душкесас Р.Ф. Проблемы устойчивости в классической модели управления запасами. Дипломная работа. М.: Ф-т экономической кибернетики МИНХ им. Г.В. Плеханова, 1977. – 70 с.
8. Орлов А.И., Пейсахович Э.Э. Некоторые модели планирования оптимальных размеров поставок и начального запаса // Экономика и математические методы. 1975. Т.XI. №.4. С.681-694.

Êîíòðîëüíûå âîïðîñû и задачи

1. На складе хранится некоторая продукция, пользующаяся равномерным спросом. За 1 день со склада извлекается 0,5 т продукции, плата за хранение 1 т продукции в день – 2 тыс. руб.,  плата за доставку одной партии – 50 тыс. руб. Планирование производится на 21 день. Найдите оптимальный план.
2. В условиях задачи 1 на сколько процентов затраты в плане Вильсона (объем партии определяется по формуле квадратного корня) превышают затраты в оптимальном плане? 
3. Оцените увеличение затрат в плане Вильсона (объем партии определяется по формуле квадратного корня) по сравнению с оптимальным планом за целое число периодов, если размер партии отличается от оптимального не более чем на 5%.
4. Каким образом концепция асимптотически оптимального плана позволяет решить проблему горизонта планирования при принятии логистических решений?
5. На складе хранится некоторая продукция, пользующаяся равномерным спросом. За 1 день со склада извлекается 0,5 т продукции, плата за хранение 1 т продукции в день – 2 тыс. руб., плата за дефицит 1 т продукции в день – 10 тыс. руб., плата за доставку одной партии – 50 тыс. руб. Планирование производится на 21 день. Найдите оптимальный план в модели с дефицитом и сравните его с планом, найденным при решении задачи 1.
6. Чем двухуровневая модель управления запасами отличается от модели Вильсона?
7. В чем состоит основной вклад прикладной математики при разработке модели планирования оптимальных размеров поставок и начального запаса?
8. Следует ли стремиться к минимизации запасов?

Òåìû äîêëàäîâ è ðåôåðàòîâ

1. Место теории управления запасами в современной логистике.
2. Специфика решения задачи оптимизации при анализе классической модели работы склада.
3. Проблемы, возникающие при практическом применении моделей управления запасами.
4. Концепция страхового запаса и модель Вильсона. 
5. В каком смысле оптимальна двухуровневая модель управления запасами?
6. Современная логистика в системе организационно-экономических методов принятия решений при управления организацией. 
7. Оптимальные методы управления запасами.

Содержание

Введение…...……………………………………………………………3
1. Классическая модель управления запасами……………………….6
2. Решение задачи оптимизации………………………………………9
3. Асимптотически оптимальный план……………………………...18
4. Влияние отклонений от оптимального объема партии………….23
5. Модель с дефицитом……………………………………………….28
6. Система моделей на основе модели Вильсона…………………...32
7. О практическом применении классической модели
управления запасами………………………………………………….36
8. Двухуровневая модель управления запасами…………………….38
9. Модель планирования размеров поставок на базу (склад)…...…41
Литература…………………………………………………………….43
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû и задачи……………………………………...44
Òåìû äîêëàäîâ è ðåôåðàòîâ………………………………………….45